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+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Barrage du Ternay (calcul élastique linéaire, HPP)
+
+Created on Wed Oct 11 12:46:22 2017
+@author: Jeremy Bleyer, Xavier Chateau
+Ecole des Ponts ParisTech, Laboratoire Navier (ENPC,IFSTTAR,CNRS UMR 8205)
+@email: jeremy.bleyer@enpc.fr, xavier.chateau@enpc.fr
+"""
+from dolfin import *
+
+# Unités : longueurs en m
+#          efforts en MN, contraintes en MPa
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+
+# masse volumique béton
+rhob = Constant(2.5e3)
+# masse volumique eau
+rhow = Constant(1e3)
+# accélération de la pesanteur
+g = Constant(9.81e-6)
+# vecteur forces volumiques
+rhoF = rhob*g*Constant((0, -1.))
+
+# Pression de l'eau
+Pw = Expression("rho*g*(H-x[1])", rho=rhow, g=g, H=40., degree=1)
+
+# propriétés élastiques du béton
+E = Constant(30e3)
+nu = Constant(0.25)
+lmbda = E*nu/(1+nu)/(1-2*nu)
+mu = E/2./(1+nu)
+
+
+## Lecture du maillage généré avec Gmsh
+mesh = Mesh("Ternay.xml")
+# On récupère également les physical regions
+subdomains = MeshFunction("size_t", mesh, "Ternay_physical_region.xml")
+# ainsi que les facet regions
+boundaries = MeshFunction("size_t", mesh, "Ternay_facet_region.xml")
+# Et on génère les normales aux facets pour l'application de la pression
+n = FacetNormal(mesh)
+# élément d'intégration sur le volume
+dx = Measure("dx")
+# élément d'intégration sur le bord du domaine
+ds = Measure("ds",subdomain_data=boundaries)
+
+# Définition de l'espace d'interpolation pour le déplacement
+V = VectorFunctionSpace(mesh,"CG",degree=2)
+# Définition de fonctions tests (champs de vitesse virtuels)
+u_ = TestFunction(V)
+v = TrialFunction(V)
+# fonction où l'on va stocker la solution
+u = Function(V, name="Deplacement")
+
+# Fonction utiles à l'écriture du problème
+def eps(w):
+    return sym(grad(w))
+def sigma(w):
+    # loi de comportement élastique linéaire isotrope (état initial naturel)
+    return lmbda*tr(eps(w))*Identity(2) + 2*mu*eps(w)
+
+# Définition du travail virtuel de déformation
+Wdef = inner(sigma(v), eps(u_))*dx
+# Définition du travail des efforts extérieurs
+Wext = dot(rhoF, u_)*dx + dot(-Pw*n, u_)*ds(1)
+#
+
+# Définition des conditions aux limites sur la surface "2" (y=0)
+bc = DirichletBC(V, Constant((0, 0)), boundaries, 2)
+
+# Résolution du problème
+solve(Wdef == Wext, u, bc)
+
+# Tracé de la déformée
+#plot(u, mode = "displacement")
+
+# Evaluation du déplacement en x=0 y=H
+print("Deplacement en (0,40):", u(0, 40))
+
+# Posttraitement des contraintes (projetées sur un espace continu linéaire/élement)
+Vsig = TensorFunctionSpace(mesh, "CG", degree=1)
+sig = Function(Vsig, name="Contraintes")
+sig.assign(project(sigma(u), Vsig))
+# tracé de la contrainte sigma_{yy}
+#plot(sig[1, 1], mode="color", title="sigma_yy")
+# tracé de la contrainte sigma_{xy}
+#plot(sig[0, 1], mode="color", title="sigma_xy")
+# évaluation de sigma en x=L,y=0
+print("Contrainte en (-4,0):", sig(-4, 0))
+
+# Sauvegarde de la solution au format VTK (pour Paraview)
+u_file = File("Ternay/xi.pvd")
+u_file << u
+sig_file = File("Ternay/sig.pvd")
+sig_file << sig
+
+## QUELQUES COMPLEMENTS
+# Calcul de l'effort vertical résultant en y=0 via les contraintes
+print("Rx(y=0) via contraintes:", assemble(-sig[1, 0]*ds(2)))
+# Calcul de l'effort horizontal résultant en y=0
+print("Ry(y=0) via contraintes:", assemble(-sig[1, 1]*ds(2)))
+# Calcul du moment/O autour de z en y=0
+print("Mz/O(y=0) via contraintes:", assemble(-Expression("x[0]", degree=1)*sig[1, 1]*ds(2)))
+
+# Calcul de la résultante au pied du barrage via le travail des efforts intérieurs
+bc_pied_x = DirichletBC(V, Constant((1., 0.)), boundaries, 2)
+bc_pied_y = DirichletBC(V, Constant((0., 1.)), boundaries, 2)
+bc_pied_m = DirichletBC(V, Expression(("0.", "x[0]"), degree=1), boundaries, 2)
+v_x = Function(V)
+bc_pied_x.apply(v_x.vector())
+v_y = Function(V)
+bc_pied_y.apply(v_y.vector())
+v_m = Function(V)
+bc_pied_m.apply(v_m.vector())
+Wreac = action(Wdef, u) - Wext
+print("Rx(y=0) via travail:",assemble(action(Wreac,v_x)))
+print("Ry(y=0) via travail:",assemble(action(Wreac,v_y)))
+print("Mz/O(y=0) via travail:",assemble(action(Wreac,v_m)))
+
+# Assemblage de la matrice de rigidité et du vecteur des forces nodales
+K, F = assemble_system(Wdef, Wext, bc)
+# vecteur solution
+U = u.vector()
+# On verifie que KU = F
+res = K*U - F
+print("Norme du résidu:", res.norm("l2"))
+
+# Calcul de l'énergie mécanique (F^T,U)/2.
+# 1ere solution : méthode "inner" de F ou de U
+print(0.5*F.inner(U))
+print(0.5*U.inner(F))
+# 2eme solution : on convertit F et U en Numpy array puis
+U_numpy = U.get_local()
+F_numpy = F.get_local()
+print(0.5*F_numpy.dot(U_numpy))
+# ou encore
+import numpy as np
+print(0.5*np.dot(F_numpy.T,U_numpy))
+# 3ème solution : on évalue le travail virtuel des efforts extérieurs pour la solution
+print(assemble(action(0.5*Wext,u)))